Проект "Построение фракталов на компьютере"

В век информационных технологий и компьютерной графики нет недостатка в графических пакетах программ, предлагающих с той или иной степенью удобства строить графики функций, в том числе и таких сложных как фракталы. Существует специализированное программное обеспечение для построения фракталов, например Apophysis 7X, но мне было интересно рассмотреть варианты построения «подручными средствами».

Гипотеза: при определенной математической подготовке возможно построение графиков сложных функций (фракталов) без использования специализированного программного обеспечения.

Цель: выяснение оптимальных способов построения графиков сложных функций (на примере фракталов) программным и табличным способами.

Задачи:
1. Исследовать понятие «фрактал»;
2. Познакомиться с классификацией фракталов;
3. Определить способы построения фракталов;
4. Выбор программного обеспечения;
5. Изучить программное обеспечение для построения;
6. Построить фракталы в выбранных программах;
7. Создать оболочку для удобного просмотра информации о фракталах и запуском модулей построения графиков;
8. Рекомендации по построению в зависимости от подготовки пользователя;
9. Сделать выводы из проделанной работы.

Объект исследования: электронные таблицы и среды программирования.

Предмет исследования: построение графиков сложных функций (фракталов) табличным и программным способом.

Методы исследования: Методы эмпирического уровня: сравнение, метод проб и ошибок, теоретический контент – анализ, формализация, аналогия.

Принцип построения фрактала на примере Кривой Леви
График Кривой Леви состоит из множества точек. Программа Excel позволяет строить графики разных видов точечных диаграмм: точечная, точечная с гладкими кривыми линиями, точечная с прямыми отрезками. При построении точечной диаграммы с гладкими кривыми линиями, и точечной диаграммы с прямыми отрезками в результате построения диаграммы получилась закрашенная фигура вместо фрактала. Этот вид графика нам не подходит, поэтому мы остановили свой выбор на точечной диаграмме.
Построение графика Кривой Леви в Excel:

Используем три столбца, обозначив их, как x, y, p.
p задается случайным значением от 0 до 1. =СЛЧИС()
Начальные значения для x, y: x_1=0, y_1=0.
Для последующих значений x устанавливаем следующую формулу:
=ЕСЛИ(A6<=0,5;0,5*B5-0,5*C5;0,5*B5+0,5*C5+0,5)
Значения переменной y вычисляем по формуле:
=ЕСЛИ(A6<=0,5;0,5*B5+0,5*C5;-0,5*B5+0,5*C5+0,5)
Далее используя автозаполнение копируем формулы на 50000 ячеек вниз.
Выделяем все значения столбцов x, y и добавляем на лист точечную диаграмму.
Настраиваем маркеры точечной диаграммы.

В программе Lazarus построение графика основано на применении цикла с большим количеством итераций:
for k := 1 to iter do
begin
p := Random;
t := x;
if p <= 1/2 then
begin
x := 0.5*x - 0.5*y;
y := 0.5*t + 0.5*y;
end
else
begin
x := 0.5*x + 0.5*y + 0.5;
y := -0.5*t + 0.5*y + 0.5;
end;
PutPixel(mx + Round(rad * x), my - Round(rad * y), 1);
end; (iter - количество повторений цикла)
Так как в Lazarus координаты точки не могут быть дробным значением, необходимо значение координат увеличить в rad раз и округлить функцией Round. В обоих средах получились практически одинаковые графики. Графики отличаются лишь тем, что в программе Lazarus точки получились меньше и поэтому на графике точки не сливаются. В Excel мы установили минимальный размер маркера.